Shaded Hearts

In Anbetracht der anstehenden Fußball Weltmeisterschaft habe ich mich mal ein wenig mit der Geometrie/Mathematik des klassischen Fußballes auseinander gesetzt.
Diese Abhandlung beschäftigt sich also mit dem altbekannten Flickenball und nicht mit einem dieser neumodischen geklebten Flatterbälle.
Wir bauen uns heute also einen Fußball!



Zunächst einmal zur geometrischen Figur:
Der Fußball ist geometrisch gesehen ein sogenannter "abgestumpfter Ikosaeder". Das müssen wir zunächst gar nicht unbedingt wissen - es reicht, wenn wir uns vorstellen, dass wir unseren Ball aus gleichmäßigen Fünfecken (Pentagons) und Sechsecken (Hexagons) zusammennähen. Der mathematische Teil unserer Aufgabe beschäftigt sich damit, wie viele wir davon brauchen werden!
Natürlich ist die mathematische Figur ein recht kantiges Teil, deshalb wählen wir für die Teile ein flexibles Material, sodass alles beim aufpumpen schön rund wird.



Exkurs: abgestumpfter Ikosaeder
Diese Form aus Pentagons und Hexagons ist auch aus anderen Bereichen durchaus bekannt und für seine Stabilität bekannt. Als Beispiel würde ich gern das C60-Molekül anführen, das aus 60 Kohlenstoffatomen zusammengesetzt ist und als Transportmolekül eingesetzt wird (man kann quasi etwas hineintun und dann irgendwo durchschleusen). Es ist also kein Zufall, dass man diese Anordnung beim Fußball wiederfindet.


Ansatz für die Berechnung ist eine Formel, die aus der sog. Euler-Charakteristik hervorgeht. Diese beschäftigt sich grob gesprochen mit der Unterteilung von geschlossenen Flächen. Für uns wichtig ist in diesem Fall aber nur das Verhalten einer geschlossenen Fläche ohne Löcher (Der Ball sollte ja nicht unbedingt Donut-förmig werden). Für diese Flächen ist die Euler-Charakteristik χ (chi) = 2.

#v + #f - #e = 2
Hierbei ist #v die Anzahl der Ecken (vertices), #f die Anzahl der Flächen (faces), #e die Anzahl der Kanten (edges).

Wir nennen die Anzahl der Fünfecke P und die der Sechsecke H.
Fangen wir dem einfachen an und arbeiten uns dann hoch:

#f = P + H
Die gesamte Anzahl der Flächen setzt sich zusammen aus der Anzahl der Pentagons und Hexagons.

#e = (5P + 6H) / 2
Die Anzahl der Kanten. Ein Pentagon hat 5 Kanten, ein Hexagon 6. Allerdings verbindet jede Kante 2 Teile miteinander, daher teilen wir durch 2.

#v = (5P + 6H) / 3
Die Anzahl der Ecken. Hier gilt das Gleiche analog zu den Kanten, allerdings verbindet eine Ecke immer 3 Teile, deshalb müssen wir das Ergebnis dritteln.

Wir setzen alles in die Gleichung der Euler-Charakteristik ein und erhalten:
(5P + 6H) / 3 + P + H - (5P + 6H) / 2 = 2

Wir entfernen zunächst die Brüche, indem wir mit 6 multiplizieren:
10P + 12H + 6P + 6H - 15P - 18H = 12

Man zählt alles zusammen und erkennt, dass die Hs sich gegenseitig zu 0 aufheben und nur ein P übrig bleibt:
P = 12

Jetzt wissen wir schon, dass wir 12 Pentagons brauchen. Wir wissen, dass an einem Pentagon jeweils 5 Hexagons hängen (an jeder Kante eins), allerdings muss ein Hexagon immer an 3 Pentagons liegen.
H = P * 5 / 3 = 12 * 5 / 3 = 20

Damit konnten wir nun berechnen, dass wir für unseren Fußball 12 Pentagons und 20 Hexagons brauchen (übrigens unabhängig von der Größe, solange alles gleichmäßig bleibt). Und hey, die Mathematik dahinter hat jetzt auch nicht mehr als die Grundrechenarten erfordert!